[확률변수와 확률분포] 8. 누적분포함수(cumulative distribution function)

1. 누적분포함수의 정의

$F(x) = P(X\leq a)$ :  확률변수 $X$가 어떤 점 $x$보다 작거나 같을 확률

 

누적분포함수 $F(x)$ 는 다음 조건을 만족합니다.

 

 

 

아래는 $F(x)$ 를 표시하는 방법인데 $\Sigma$와 $\int$에서 무엇을 쓰는지 차이가 있습니다.

 

 

 

예를 들어 $a=2, b=3$ 일 때 확률변수 X의 확률은 $P(2\leq X \leq 3)$ 를 구하는 것과 같습니다.

$P(2\leq X \leq 3)$ = $F(3) - F(2)$  와 같이 쓸 수 있습니다.

$P(2\leq X \leq 3)$ 는 3까지의 누적분포함수에서 2까지의 누적분포함수를 빼주는 것과 같습니다.

 

$f(x) = x/5$ 일 때 $P(2 \leq X \leq 3)$ 를 구해봅시다.

 

 

 

예제1.

주사위를 두 번 던질 때 1 또는 2가 나오는 횟수를 확률변수 $X$라고 할 때 확률밀도함수 $f(x)$는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 이산형 확률변수이기 때문에 한 점(0, 1, 2)에서의 확률이 존재합니다.

 

 

 

 

이에 대하여 누적분포함수는 아래와 같이 주어집니다.

 

 

 

 

다음은 확률밀도함수와 누적분포함수를 그래프로 나타낸 것입니다.

 

 

 

 

 

 

 예제2.

 확률밀도함수 $f(x)$가 다음과 같을 때 $P(3<X<4)$ 의 확률을 구하시오.

 

 

아래 그림은 $f(x)$ 의 그래프입니다. $P(3<X<4)$은 (3, 4) 구간을 적분한 것과 같습니다.